Sens de variations de la fonction inverse - démonstration

On considère la fonction inverse : c'est la fonction définie sur \(\mathbb{R}^* =]-\infty;0[\cup]0;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{1}{x}\).

1. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels non nuls. Montrer que \(f(b)-f(a)=\dfrac{a-b}{ab}\).
2. Soit \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \(0< a<b\). Déterminer le signe de \(a-b\), celui de \(ab\) puis celui de \(f(b)-f(a)\).
3. En déduire le sens de variation de la fonction inverse sur l'intervalle \(]0;+\infty[\).
4. Montrer que la fonction inverse​​​​​ est décroissante sur l'intervalle \(]-\infty;0[\).
5. Dresser le tableau de variations de la fonction inverse.
6. La fonction inverse possède t-elle des extremums ?